ABCA1B1C1 — правильная треугольная призма, все ребра которой равны 3. Точки P и K — середины ребер BC и CC1 соответственно, M ∈ AA1, AM : AA1 = 1 : 3 (см. рис.). Найдите увеличенный в 25 раз квадрат длины отрезка, по которому плоскость, проходящая через точки M, K, P, пересекает грань AA1B1B.
Построим искомую плоскость. Проведем KP до пересечения BB1. Затем соединим полученную точку L с точкой M . Полученный отрезок MQ является искомым.
Так как AM : AA1 = 1 : 3, 
Треугольники KPC и LBP равны по стороне и двум углам, тогда 
Треугольники BQL и AMQ подобны по двум углам, тогда
Пусть QB = 3x, тогда AQ = 2x. Длина AB равна 5x и равна 3, тогда 
По теореме Пифагора:
Квадрат MQ, увеличенный в 25 раз, равен 61.
Ответ: 61.